Форум

305612 "" 2013-04-11 20:46:59
[212.22.193.45] Владислав Крючков
- Еще раз о реальности математики

╚Августин, отвечая на вопрос любопытствующих богословов о том, чем занимался бог до сотворения мира, остроумно заметил: ╚Он готовил ад для тех, кто осмеливается спрашивать об этом╩ (А.Турсунов, с.167).

Статья В.Перминова ╚Реальность математики╩ (╚Вопросы философии╩ ╧2 за 2012) утверждает онтологичность математики, но не определяет ее реальность. В данной статье сделана попытка определить реальность математики. Начало Вселенной, а вместе с ней и всего мироздания в фундаментальной науке ассоциируется с возникшей сингулярностью и Большим взрывом. Такое начало представлено Эйнштейном-Фридманом, и есть результат скорее математики, чем физики. Математика всегда была первой наукой. Тем не менее, ее онтологическое существование не признавалось фундаментальной наукой, поскольку основывалось не на платоновском, а на аристотелевском восприятии математики. ╚Для Аристотеля математика первична по определению, но вторична по бытию╩. Математика в структуре фундаментальных наук была первой, проблема заключалась только в, якобы, отсутствующей собственной реальности математики. Но осознание реальности не только как материи, а шире как количества вообще, снимает проблему реальности математики. Предположение о реальности как количестве высказал Лейбниц: ╚Вовсе не невероятно, что материя и количество в действительности одно и то же╩. По отношению к количественной непосредственности, материя оказывается особенностью оформленным количеством. Но еще шире, еще монументальней понятие реальности представлено религией, в которой основанием существования оказывается реальность несуществования - ничего. Так, бог творит мир из ничего. Именно ничего (или ничто) оказывается той исходной реальностью, существования, которая прошла свой субстанциальный - неструктурированный период развития в существовании, далее структурирована в математике дискретно и поэтому может быть воспринята как количество и знак. В. Перминов в своей статье ╚Реальность математики╩ признает онтологичность арифметики и геометрии, но отказывает в этом теории множеств: ╚Мы осознаем, что в арифметике и в евклидовой геометрии мы имеем дело с некоторой фундаментальной онтологией мира.Теория множеств как теория второй (абстрактной) математики не может быть поставлена в связь с универсальной онтологией и не может быть обоснована в рамках философии реализма╩. Но если арифметика есть непосредственность, геометрия особенность арифметики, то теория множеств оказывается всеобщностью арифметики. (Кантор). Оказывается, чрезвычайно важно уйти от узкого материального восприятия реальности! Вместе с признанием реальности как количества пара фундаментальных противоположностей - качество и количество обретает актуальность. Так качество оказывается смыслом, определяющим весь процесс мироздания в его развитии от ╚низшего к высшему╩, а количество является средством реализации качественного смысла. Качество актуальной бесконечности, предложенное Г.Кантором, и есть результат освоения количества ничто, начиная с непосредственности арифметики, через особенность геометрии, во всеобщности теории множеств. Подчеркивание именно качественного возникновения теории множеств свидетельствует о том, что качество может быть получено только скачком, а не бесконечным-количественным приближением к нему. Актуальная бесконечность не может быть получена простым пересчетом ее компонентов. ╚Может ли бесконечное быть соединенным в одно целое? Может ли вообще актуальная бесконечность быть объята целиком в нашей мысли? Ведь для того чтобы составить представление о бесконечном, необходимо предварительно составить представление о каждой его части, а таких частей необозримо много. Обсуждая это возражение, Б.Больцано замечает: чтобы вообразить целое, нет необходимости представлять отдельно его части╩. ╚Идеальность может быть названа качеством бесконечности╩ (Гегель). И сам Кантор, давая определение множества, мыслил эту качественную определенность как идеальную снятость в ней всякого количества: ╚множество есть многое, мыслимое как единое╩. (Катасонов). В. Катасонов, анализируя письма Кантора, пишет: ╚Кантор верил в то, что был избран Богом возвестить истины теории множеств широкой аудитории. Он также рассматривал повторяющиеся волны маниакльно-депрессивных состоянийкак божественные наития╩. Кантор считал, что ╚шкала ╚алефов╩ поднимается до бесконечности самого Бога. ╚Я никогда не исходил из какого-либо ╚Genus supremum╩ актуальной бесконечности. То, что превосходит все бесконечное и трансфинитное, не есть ╚Genus╩: это есть единственное, в высшей степени индивидуальное единство, в которое включено все, которое включает ╚Абсолютное╩, непостижимое для человеческого понимания. Это есть ╚Aktus Purissimus╩, которое многими называется Богом╩.

╚Качество первое╩, оно единично-случайно, логически необъяснимо, поэтому люди, создавшие или вскрывшие новое качество, уподобляются богам. Такими людьми-богами в математике стали Пифагор, Евклид и Георг Кантор. ╚Мистерия случайности╩ (М.Антипов) - мистика качества, принципиально не поддающаяся разумному пониманию, должна быть оценена человеческим разумом как проявление смысла существования. Количественное развитие логично, а качественное нелогично, поскольку результат никогда не соответствует ожидаемому количественному приближению к нему: ╚начало╩ - довольно хитрое понятие: будучи началом логики, оно должно выходить за ее пределы, т.е. быть чем-то нелогичным. Будучи же началом данной логики, должно включаться в нее╩ [Длугач 2011]. Качество возникает единично-случайно-скачком, никак необусловлено из своего несуществования. Существование чистое качество, в котором отсутствует количество: возникшее качество абсолютно, поскольку ╚появилось не из предыдущего, а непосредственно из себя╩ [Гегель 1970 1, 463].

Состояние мироздания, предшествующее математике

Качество абсолютно и есть вечность, снявшая в себе свое несуществование. Абсолютное качество завершено, в нем отсутствует количество, оно идеально и подобно человеческой мечте, оно, поэтому чистый смысл. Отсутствие количества проявляется в соединенности начала и конца. Количество проявляется на некоторой удаленности от качественного абсолюта вследствие того, что качество возникло не всеобще-необходимо, а единично-случайно. Проявившееся количество разделяет начало и конец, создает среднюю часть, и дает начало диалектическому процессу вечности. Весь процесс освоения количества определен абсолютным качественным смыслом вечности - необходимым возвратом к нему и определением его единичности-случайности на уровне всеобщности-необходимости. Так качественный смысл превращается в цель полагающую будущее. Вечность стремится вернуться к своему исходному идеальному абсолюту, освоив и сняв в себе все свое проявившееся несуществование, все свое количественное ограничение - оконечивание, и в этом смысл диалектического процесса мироздания. Диалектический процесс соответствует схеме: синтез-анализ-синтез. В крайних частях качество едино с количеством, а в средней части опосредствовано с ним. Нас интересует именно средняя часть бытие, в котором мы существуем. Исходное качество движет процесс мироздания, выполняя свою цель. Несуществование реальность, возвращающая существование в ничто. Несуществование зло, которое бесконечно осваивается и исчезает в идеальности добра-существования. В религии несуществование Дьявол, а существование Бог. Добытийное состояние выразительно представлено в религии буддийской нирваной. Здесь качество-бог сам превращается в ничто (Гегель) и бесконечно исчезает в субстанциальной реальности нирваны. Качество в добытийном состоянии еще слабо, оно есть чистая идеальность, существующая непосредственно в реальности несуществования. Тем не менее, количество осваивается качеством, и, в конце концов, возникает совершенно неожиданный абсолютный качественный единичный-случайный результат единица, в которой бесконечная субстанциальная непрерывность исчезла. Вечность в единице оказалась абсолютным моментом времени единством начала и конца. Эта статичная завершенность качества времени представляет абсолютную форму существования, знаковую пространственность-одновременность.

Арифметика

Арифметика есть основная - непосредственная часть математики настолько, что все последующие разделы можно рассматривать только как ее конкретизацию. ╚Арифметика, согласно Л. Кронекеру, играет по отношению ко всей математике ту же роль, что и сама математика по отношению к геометрии и прикладным областям╩. ╚При этом слово ╚арифметика╩ должно пониматься не в обыкновенном ограниченном смысле, но должно включать все математические дисциплины, за исключением геометрии и механики╩. [Катасонов 1999]. Кантор отметил, что ╚Сер Уильям Роуэн Гамильтон, например, определил арифметику как ╚The science of pure time. О том, что математика наука чистого времени, свидетельствует и ее тождество с временнЫми (мусическими) искусствами, начатыми музыкой, ведь ╚музыка есть скрытое упражнение в арифметике души, не умеющей себя вычислить╩ (Лейбниц). Музыкальный процесс, представленный в первобытных временных искусствах, моделирует процесс математики, а вернее процесс непосредственного бытия. По Пифагору, ╚Начало всего единица╩ [Диоген Лаэртский, 338]. Единица абсолютная качественная форма бытия. В единице снята дурная бесконечность несуществования и превращена в актуальную бесконечность, определенную на уровне особенности-формы. Но на некоторой удаленности от абсолютного качества единицы в ней проявляется количество несуществования вследствие возникновения единицы не всеобще-необходимо-количественно, а единично-случайно-качественно. Количество должно быть снято в форме единицы, чтобы вернуть исходную абсолютность ее качества. Качественная необходимость освоения количества, проявившегося в единице, осуществляется временем в единстве с количеством. Качество проявляется в точных закономерностях формообразования математики, в отличие от музыки, в которой эти же закономерности определяются интуитивно. ╚Качество есть первая, непосредственная определенность, количество же определенность, ставшая безразличной для бытия╩. Это ╚чистое количество, не имеющее еще в самом себе никакой определенности; как сплошное оно непрерывно продолжающее себя внутри себя бесконечное единство╩ [Гегель 1970 1, 256-257]. Качественная непрерывность времени и его количественная определенность сохраняют непосредственное единство в арифметике. ╚Число выступает поэтому как дискретная величина, но в единице оно обладает и непрерывностью.╩ (Гегель). ╚Дискретная величина имеет, во-первых, принципом ╚одно╩ и есть, во-вторых, множество ╚одних╩; в-третьих, она по своему существу непрерывна, в то же время она ╚одно╩ как снятое, как единица, она продолжение себя, как такового, в дискретности ╚одних╩ [Гегель 1970 1, 275]. ╚Это свойство определенного количества быть внешним самому себе╩ [Там же, 255]. Пространственная определенность качества времени возрастает по мере освоения им количества-несуществования. Действительно, количество проявляется интенсивно как бесконечная рядоположность единиц (положительная и отрицательная), но это количество должно превратиться в экстенсивное, оно должно стать внутренней определенностью абсолютной единицы и быть снятым в ней от 0 до 1. По Гегелю, ╚Экстенсивная и интенсивная величины суть, следовательно, одна и та же определенность определенного количества; они отличаются между собой только тем, что одна имеет численность внутри себя, а другая вовне себя╩. Пространственность развивается как одновременность существования множества количественных вариантов определения качественной единицы. Идеальность формы и реальность количества соединены в структуре так, что форма это не более, чем непрерывность временных закономерностей формообразования, а реальность дискретность ничто. В арифметике закономерности реализуются пропорционированием гармонизацией отношений в бесконечном приближении к количественному пределу - нулю. ╚Количественное отношение рассматривается как пропорционирование гармоническое соотношение, которое есть тем самым лишь формальное единство качества и количества╩. Математика, как она есть в фундаментальных науках, моделирует свое онтологическое состояние, но она, очевидно, не в состоянии представить качественный скачок-переход от арифметики к геометрии. Очевидно, ближе всего к пределу перехода от арифметики к геометрии находятся дифференциальные и интегральные исчисления. Именно они в состоянии определять как бесконечно малое приближения к нулю, так и бесконечно большое - к единице. ╚В точке, правда, пространственная величина имеет определенность, соответствующую ╚одному╩ [Там же, 279]. Здесь Гегелем намечена связь между арифметикой и геометрией: ╚числовой и пространственной╩ величинами. Интересен переход от первобытного состояния человечества, завершаемый мегалитической архитектурой, к послепервобытному состоянию, начатому точным познанием с единицы математики. Здесь осуществлен качественный скачок от материальной точки шара, бесконечно-количественно уменьшаемого до геометрической точки, к идеальному состоянию единицы, в котором материальность исчезла, превратившись в знак. Единичность-случайность этого исторического скачка должна была в переходе от арифметики к геометрии реализоваться на уровне всеобщности пространственной геометрической точки. И эта необходимость действительно осуществляется, но только геометрическая точка оказывается временнОй.

Геометрия

Бесконечное-количественное завершение процесса арифметики должно в конечном результате определить единичность-случайность формы бытия на уровне всеобщности-необходимости полным освоением-снятием в ней всего наличного множества ничто-несуществования. Но качественный скачок от арифметики к геометрии прерывает этот бесконечный процесс, он не возвращает процесс математики к своему началу единице, не определяет непосредственность единицы на уровне всеобщности точным снятием в ней всего количества. Качественный скачок дает уровень особенности формы, в которой она акцентирована и есть временнАя точка, в которой количество снято как пространство. Это абсолютное состояние пространственной завершенности формы проявляется в замкнутости-соединенности начала и конца временной точки, в которой таким образом снято все количество. Но это количество проявляется на некоторой удаленности от качественного начала в пульсации временной точки. Гегель видит в пульсирующей временной точке сущность бытия, но отмечает только ее количественную определенность: ╚сущность есть сначала простая отрицательностьотталкивание себя от самой себясущность есть то, чем было количество в сфере бытия: абсолютное безразличие к границе╩ [Там же 2, 9]. Шеллинг определяет это состояние как принцип создания реального продукта: ╚Если природа изначально есть двойственность, то уже в изначальной продуктивности природы должны быть заложены противоположные тенденции это неизбежное, хотя до сих пор недостаточно осознанное противоречие (а именно то, что продукт может возникнуть лишь вследствие столкновения противоположных тенденций, а эти противоположные тенденции взаимно уничтожают друг друга) может быть разрешено только следующим образом. Устойчивое пребывание продукта немыслимо без постоянного воспроизведения. Продукт следует мыслить в каждый момент уничтоженным и в каждый момент вновь воспроизведенным. Мы видим, собственно говоря, не пребывание продукта, а только его постоянное воспроизведение Изначально продукт не более чем просто точка, граница, и лишь под натиском природы на эту точку она как бы возвышается до наполненной сферы, до продукта╩ [Шеллинг 1966, 196-198]. ╚Двойственность природы╩ есть взаимоопределение двух фундаментальных противоположностей мироздания: качества и количества. Все количество, должно быть снято во временной точке, ╚вдвинуто╩ в нее. Количество должно из интенсивного превратиться в экстенсивное, стать внутренней определенностью временной точки, чтобы реализовать ее исходную единичность-случайность всеобще-необходимо. Освоение количества осуществляется качеством непрерывным временем во временных закономерностях формообразования. Этот стихийный многовариантный процесс поиска оптимальных средств освоения количества в качестве оказывается, трехчастным диалектическим процессом, соответствующим схеме синтез-анализ-синтез. Если пропорционирование и композиция представлены субстанциальной свернутостью и единством качества и количества, то в ритме композиционная непрерывность развернута, выделена из дискретных элементов в интервалах и оказывается условием превращения точечной дискретности в непрерывность линии и плоскости: ╚точка, поскольку она выходит вовне себя, становится иным, становится линией; так как она по своему существу есть лишь ╚одно╩ пространства, то она в соотношении становится такой непрерывностью, в которой снята точечность, самостоятельная определенность, ╚одно╩ [Гегель 1970 1, 279].

Если в арифметике пространство было одномерным, то в геометрии оно двухмерно. Бесконечное-количественное освоение точек плоскости имеет тенденцию к завершению - свертыванию плоскости и превращению еще сохраняющихся точек во внутреннюю определенность свернутой плоскости. Свертывание плоскости в завершении процесса ритмизации полагает бесконечный-количественный возврат к временной точке и ее всеобщую определенность. Качественная непрерывность геометрии осуществляется в интервалах между точками, создавая их единство. Объединяя точки в ритме, усложняемом по мере развития от пропорционирования отдельных элементов до композиции, стремящейся охватить все точки, качество-время определяет их из интенсивных в экстенсивные, т. е. превращает из внешних во внутреннюю определенность формы.

Свернутость плоскости в своем бесконечном завершении представлена правильными многоугольниками с ярко выраженной тенденцией к снятию всех точек в центре симметрии геометрической фигуры. Согласно диалектическому процессу, его завершение бесконечно возвращается к началу, определяя единичность-случайность начала на уровне всеобщности-необходимости свертыванием формы. Ритм превращается в замкнутую двумерную композицию, концентрирующуюся к центру по мере пространственного уменьшения, охватывая все точки и бесконечно снимая их в центре, в приближении к абсолютному качеству временной точки-сущности. Бесконечное приближение к абсолюту временной точки-сущности соответствует определению математического бесконечного и есть устремленность ограниченного пространства от дискретности-прямолинейности к его непрерывности-криволинейности. Это состояние - топологическое пространство, характеризуемое множеством элементов временных точек, определенных предельными соотношениями.

Теория множеств

Качественный скачок от геометрии к теории множеств дает всеобщую определенность временной точки, но эта всеобщность неожиданна и есть абсолютное исчезновение количества не только во внутренней определенности, но и во внешней определенности-форме. Результатом оказывается чистый качественный смысл существования, возвращающий весь процесс мироздания к исходному абсолютному качеству вечности и определяющий его непосредственность на уровне всеобщности. Такая освоенность бесконечного множества несуществования есть его всеобщая определенность, представленная как количественно освоенная актуальная бесконечность. Отметим, что максимальный качественный результат получается вообще только в качественном скачке к третьей завершающей части диалектического процесса. Этот результат соответствует исходному абсолютному, начальному качеству. Теория множеств и есть третья часть процесса математики, соответствующая закону отрицания отрицания, возвращающая весь диалектический процесс к его началу и определяющая единичность-случайность начала на уровне всеобщности-необходимости. ╚В рассмотренном законе охватываются не отдельные звенья, не отдельные состояния или переходы, а процесс развития, взятый в целом, раскрывается восходящая линия развития╩ [Диалектический материализм 1973, 171]. Так, здесь - в качестве теории множеств произошел возврат, но не к единице, начавшей процесс математики, а к началу мироздания вообще. Пространственная трехмерность теории множеств есть результат снятости одномерности математики и двумерности геометрии. Если геометрия представляет особенность непосредственности арифметики, то теория множеств есть ее всеобщность. ╚Кантор желает, - как он сам мне говорил на съезде естествоиспытателей в Касселе, - писал Ф. Клейн, - достигнуть ╚истинного слияния арифметики и геометрии╩ в учении о множествах╩ [Катасонов 1999]. И таким образом ╚достигается первоначальный исходный пункт, но на более высокой ступени╩. (Ф.Энгельс).

На некоторой удаленности от качественного начала теории множеств в нем проявляется количество, ограниченное трехмерной композицией сферой, заключающей в себе множество временных точек геометрии, продолжающих свою, бесконечную-количественную реализацию на уровне всеобщности, прерванную качественным скачком.

Платоновы тела еще более, чем правильные многоугольники геометрии заключают в себе цель, акцентированную в центрах симметрии этих фигур, в которых должно быть снято все количество. Целевая направленность, таким образом, создана центральной симметрией фигур. Этим определено и место завершения процесса это центр фигуры.

На некоторой удаленности от идеального качественного абсолюта в нем проявляется его первичное количество субстанция ничто, дающая сфере реальность. В форме сферы заключено и определено все количество, весь многоточечный континуум несуществования, определенный как актуальная бесконечность. По Коэну, континуум ╚рассматривается как невероятно большое множество, которое дано нам какой-то смелой аксиомой и к которому нельзя приблизиться путем какого бы то ни было постепенного процесса построения╩ [Коэн 1969, 282]. Количество должно быть снято в сфере полностью, чтобы определить несуществование всеобще-необходимо. Сфера являет себя как реальность, когда непосредственно в ней проявляется количество правильные многоугольники, которые структурируют саму сферу вглубь платоновыми телами: додекаэдром и икосаэдром. Стихийная многовариантность поиска наиболее оптимальных красивых решений полагает множество симметричных структур, бесконечно приближающихся к идеальности сферы. Трехмерные композиции строятся на основе двухмерности множества многоугольников, завершающих геометрический процесс: ╚платонический пафос канторовских построений╩ заставляет вспомнить о платоновых телах правильных многогранниках, определяющих возникающие композиции. По Кантору ╚Каждое множество четко отличающихся друг от друга вещей можно рассматривать как некую единую вещь саму по себе, в которой рассматриваемые вещи являются составными частями или конструктивными элементами. Если абстрагироваться как от свойств элементов, так и от порядка их заданий, то получится кардинальное число, или мощность множества, - общее понятие, элементы в котором в виде так называемых единиц срастаются известным образом в такое органическое единое целое, что ни один из них не имеет привилегированного положения в отношении других╩ [Катасонов 1999]. Но уже центральная симметрия платоновых тел указывает на необходимость существования такой привилегированной точки. И она есть это центр симметрии каждого из пяти правильных многогранников.

╚Главный вывод из гипотезы Прокла состоит в том, что ╚Элементы╩ Евклида, величайшее математическое произведение древних греков, является отражением идеи гармонии Мироздания, которая стояла в центре греческой науки и была связана с Платоновыми телами, которые символизировали Основные Элементы Мироздания (огонь, воздух, земля, вода и эфир). Таким образом, ╚гипотеза Прокла╩ позволяет высказать предположение, что хорошо известные в античной науке "Пифагорейская доктрина о числовой гармонии Мироздания╩ и ╚Космология Платона╩, основанная на правильных многогранниках, были отражены в величайшем математическом сочинении греческой математики, Началах Евклида. И это было главной целью Евклида!╩ (А.Стахов).

Ни Кантор, ни современные исследователи теории множеств пока не представляют ее как процесс, направленный на количественное освоение актуальной бесконечности. Но актуальная бесконечность, определенная качественно-единично-случайно, теперь должна быть определена всеобще-необходимо освоением всего содержащегося в ней количества. В правильных многоугольниках и платоновых телах благодаря их центральной симметрии однозначно определена качественная цель и место ее реализации это центры фигур, в которых должно быть полностью снято количество несуществования. Грани додекадра и икосаэдра тенденциозно тяготеют к центру фигуры, структурируя таким образом все внутреннее пространство актуальной бесконечности. Уменьшение граней по мере приближения к центру создает напряженность множества точек, предопределяет необходимость их соединения. Появляющиеся фигуры куба, октаэдра и тетраэдра ритмизуются вплоть до перехода композиции к освоению каждого отдельного элемента пропорционированием. Пропорционирование гармонизация трех отношений фигуры приводит, в конце концов, к их снятию в едином измерении радиусе шара, бесконечно-количественно уменьшаемого до временной точки вплоть до полного исчезновения количества в приближении к абсолютной форме теории множеств. Это многовариантное бесконечное завершение происходит во множестве фигур, приближающихся к центру, но лишь одна из них достигает предельного состояния, которое и разрешается качественным скачком к геометрической пространственной точке-сингулярности, начинающей качество неорганического бытия. Все другие состояния приближения к качественному пределу, продолжают свою бесконечную-количественную реализацию на уровне всеобщности. Полученное качество пространственной геометрической точки есть сама материя в ее исходной формальной определенности.

В статье ╚Существование против несуществования╩ представлено мироздание во всей его целостности, включая и ничто. В статье ╚Современное состояние человечества╩ показано, что оно может быть объективно оценено только при условии осознания мироздания в целом. В статье ╚Первобытные временные искусства╩ показано моделирование вечностью процесса мироздания и в частности, бытия.

Литература

Гегель. Наука логики. М., 1970. Гегель. Философия религии. М., 1976. Диалектический материализм. М, 1973.